Transformée de Plancherel
de \(f\in\) \(L^2({\Bbb R})\)
Limite dans \(L^2({\Bbb R})\) quand \(A\to+\infty\) de la quantité suivante :
$$\varphi_A(f)(x):=\frac1{\sqrt{2\pi} }\int^A_{-A}f(t)e^{-ixt}\,dt$$
- la transformée de Plancherel est une extension de la Transformée de Fourier à \(L^2({\Bbb R})\) : si \(f\in L^1({\Bbb R})\cap L^2({\Bbb R})\), alors \(\mathcal F(f)\) coïncide avec la transformée de Fourier de \(f\)
- \(f\mapsto{\mathcal F}(f)\) est un Automorphisme
isométrique de \(L^2({\Bbb R})\) : si on pose $$\psi_A(f)(x):=\frac1{\sqrt{2\pi} }\int^A_{-A}{\mathcal F}(f)(t)e^{ixt}\,dt$$ alors \(\lVert\psi_A(f)-f\rVert_2\underset{A\to+\infty}\longrightarrow0\)
- conséquence : $$\forall f,g\in L^2({\Bbb R}),\quad\langle{\mathcal F}(f),{\mathcal F}(g)\rangle=\langle{f,g}\rangle \quad\text{ et }\quad\lVert {\mathcal F}(f)\rVert_2=\lVert f\rVert_2$$
